数据结构 八 图

数据结构 图
数据结构 图
发布日期:   2021-08-18

数据结构 八 图

无向图

无向图的邻接矩阵实现

接口声明

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//无向图 邻接矩阵

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
#include <stack>
#include <deque>

#define VERTEX_MAX 100

typedef struct _VERTEX
{
    int key;
} * Vertex;

typedef struct _GRAPH
{
    //顶点集合
    //顶点数量
    //边的数量
    //边的集合 使用邻接矩阵或者邻接表进行表示
    Vertex vertex[VERTEX_MAX];
    int vertex_num;
    int edge_num;
    int matrix[VERTEX_MAX][VERTEX_MAX];
} * Graph;

//图不可以是一个空图
//初始化一个图
Graph init(int vertex_num);
//自动随机填充图 vertex_num 个顶点
Graph random_fill_graph(Graph graph, int vertex_num);

//图的遍历
//深度优先搜索 DFS
void DFS(Graph graph);
void DFS_Vertex(Graph graph, int v_seq, int is_sacn[VERTEX_MAX]);
//广度优先搜索
void BFS(Graph graph);

#endif

接口定义

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#include "graph.h"

//图不可以是一个空图
//初始化一个图
Graph init(int vertex_num)
{
    Graph graph = (Graph)malloc(sizeof(struct _GRAPH));
    graph->edge_num = 0;
    graph->vertex_num = 0;
    memset(graph->matrix, 0, sizeof(graph->matrix));
    graph = random_fill_graph(graph, vertex_num);
    return graph;
}
Graph random_fill_graph(Graph graph, int vertex_num)
{
    srand(time(NULL));
    int totle_vertex_num = vertex_num + graph->vertex_num;
    for (int i = 1; i <= vertex_num; i++)
    {
        int key = rand() % VERTEX_MAX;
        Vertex v = (Vertex)malloc(sizeof(struct _VERTEX));
        if (!v)
            exit(EXIT_FAILURE);
        v->key = key;
        graph->vertex[graph->vertex_num] = v;
        int source = graph->vertex_num++;
        int degree = 0;
        if (totle_vertex_num > 1)
            degree = rand() % (totle_vertex_num - 1) + 1;
        for (int j = 1; j <= degree; j++)
        {
            int destination = rand() % (totle_vertex_num - 1);
            if (destination != source)
            {
                if (graph->matrix[source][destination] == 0)
                {
                    graph->matrix[source][destination] = 1;
                    graph->matrix[destination][source] = 1;
                    graph->edge_num++;
                }
            }
        }
    }
    return graph;
}
//图的遍历
//深度优先搜索 DFS 递归
void DFS(Graph graph)
{
    printf("DFS\n");
    //任意找一个顶点开始进行递归深度搜索。
    int is_sacn[VERTEX_MAX];
    memset(is_sacn, 0, sizeof(is_sacn));
    DFS_Vertex(graph, 0, is_sacn);
    printf("\n");
}
void DFS_Vertex(Graph graph, int v_seq, int is_sacn[VERTEX_MAX])
{
    //如果没有被扫描过则输出
    //扫描其所有相连的 访问一个没有被访问过的 若所有与之相连接的结点都被访问过 则返回
    if (!is_sacn[v_seq])
    {
        is_sacn[v_seq] = 1;
        printf("%d ", graph->vertex[v_seq]->key);
    }
    for (int i = 0; i <= graph->vertex_num - 1; i++)
    {
        if (graph->matrix[v_seq][i] == 1 && !is_sacn[i])
        {
            DFS_Vertex(graph, i, is_sacn);
        }
    }
}
//非递归遍历
void DFS_none_recursive(Graph graph)
{
    printf("DFS_none_recursive\n");
    //将遇到的每一个未访问过的结点放入栈中 依次弹出访问 直到栈空
    int is_scan[VERTEX_MAX];
    memset(is_scan, 0, sizeof(is_scan));
    std::stack<int> s;
    s.push(0);
    while (!s.empty())
    {
        int seq = s.top();
        s.pop();
        //访问这个结点 可能有多个结点与该节点相连则该节点就入栈多次 但是访问一次即可
        if (!is_scan[seq])
            printf("%d ", graph->vertex[seq]->key);
        else
            continue;
        is_scan[seq] = 1;
        //将这个结点所连接的节点中未访问过的结点push
        for (int i = 0; i <= graph->vertex_num - 1; i++)
        {
            if (graph->matrix[seq][i] == 1 && !is_scan[i])
                s.push(i);
        }
    }
    printf("\n");
}
//广度优先搜索
void BFS(Graph graph)
{
    printf("BFS\n");
    //层次搜索 和树一样
    std::deque<int> q;
    int is_scan[VERTEX_MAX];
    memset(is_scan, 0, sizeof(is_scan));
    q.push_back(0);
    while (!q.empty())
    {
        int seq = q.front();
        q.pop_front();
        if (!is_scan[seq])
            printf("%d ", graph->vertex[seq]->key);
        else
            continue;
        is_scan[seq] = 1;
        //将下一层入队
        for (int i = 0; i <= graph->vertex_num - 1; i++)
        {
            if (graph->matrix[seq][i] == 1 && !is_scan[i])
                q.push_back(i);
        }
    }
    printf("\n");
}

接口使用

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#include "graph.cpp"

int main()
{
    Graph graph = init(10);
    DFS(graph);
    DFS_none_recursive(graph);
    BFS(graph);
    return 0;
}

无向图的邻接表实现

接口声明

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//无向图 邻接表

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
#include <stack>
#include <deque>

#define VERTEX_MAX 100

typedef struct _ENODE
{
    int seq;
    struct _ENODE *next;
} * Enode;

typedef struct _VERTEX
{
    int key;          //顶点数据
    Enode first_edge; //该顶点的第一个弧
} * Vertex;

typedef struct _GRAPH
{
    //邻接表 图中存放顶点 每一个顶点有一个链表将自己相连的顶点存储到链表中
    //顶点数目
    //边的数目
    //顶点
    int vertex_num;
    int edge_num;
    Vertex vertex[VERTEX_MAX];
} * Graph;

//图不可以是一个空图
//初始化一个图
Graph init(int vertex_num);
//自动随机填充图 vertex_num 个顶点
Graph random_fill_graph(Graph graph, int vertex_num);
void append_table(Graph graph, int source, int insert);
//图的遍历
//深度优先搜索 DFS
void DFS(Graph graph);
void DFS_Vertex(Graph graph, int v_seq, int is_scan[VERTEX_MAX]);
//广度优先搜索
void BFS(Graph graph);
void BFS_Vertex(Graph graph, int v_seq, int is_scan[VERTEX_MAX]);
#endif

接口定义

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#include "graph.h"

//图不可以是一个空图
//初始化一个图
Graph init(int vertex_num)
{
    Graph graph = (Graph)malloc(sizeof(struct _GRAPH));
    graph->edge_num = 0;
    graph->vertex_num = 0;
    memset(graph->vertex, 0, sizeof(graph->vertex));
    graph = random_fill_graph(graph, vertex_num);
    return graph;
}
Graph random_fill_graph(Graph graph, int vertex_num)
{
    srand(time(NULL));
    //int totle_vertex_num = vertex_num + graph->vertex_num;
    //随机产生一个顶点 随机产生一个度 随机产生每一个度连接的顶点 更新顶点的邻接表
    for (int i = 1; i <= vertex_num; i++)
    {
        int source = graph->vertex_num++;
        graph->vertex[source] = (Vertex)malloc(sizeof(struct _VERTEX));
        graph->vertex[source]->first_edge = NULL;
        int destination = 0;
        int key = rand() % VERTEX_MAX;
        graph->vertex[source]->key = key;
        int degree = 0;
        if (source != 0)
            degree = rand() % (source) + 1; //1 - source-1
        else
            continue;
        for (int i = 1; i <= degree; i++)
        {
            destination = rand() % (source);
            //更新source的邻接表
            append_table(graph, source, destination);
            //更新destination的邻接表
            append_table(graph, destination, source);
        }
    }
    return graph;
}
void append_table(Graph graph, int source, int insert)
{
    //将 source 的邻接表插入一位 insert
    Enode p = graph->vertex[source]->first_edge;
    if (!p)
    {
        Enode e = (Enode)malloc(sizeof(struct _ENODE));
        e->next = NULL;
        e->seq = insert;
        graph->vertex[source]->first_edge = e;
        return;
    }
    //p不空，append
    if (p->seq == insert)
        return;
    while (p->next)
    {
        p = p->next;
        //邻接表中已经存在 insert 了，不需要存入
        if (p->seq == insert)
            return;
    }
    Enode e = (Enode)malloc(sizeof(struct _ENODE));
    e->next = NULL;
    e->seq = insert;
    p->next = e;
    return;
}
//图的遍历
//深度优先搜索 DFS 递归
void DFS(Graph graph)
{
    printf("DFS\n");
    //从0开始遍历邻接表
    int is_scan[VERTEX_MAX];
    memset(is_scan, 0, sizeof(is_scan));
    DFS_Vertex(graph, 0, is_scan);
    printf("\n");
}
void DFS_Vertex(Graph graph, int v_seq, int is_scan[VERTEX_MAX])
{
    //如果没有被扫描过则输出
    //扫描其所有相连的 访问一个没有被访问过的 若所有与之相连接的结点都被访问过 则返回
    if (!is_scan[v_seq])
        printf("%d ", graph->vertex[v_seq]->key);
    is_scan[v_seq] = 1;
    Enode p = graph->vertex[v_seq]->first_edge;
    while (p)
    {
        //遍历邻接表
        if (!is_scan[p->seq])
            DFS_Vertex(graph, p->seq, is_scan);
        p = p->next;
    }
}
//非递归遍历
void DFS_none_recursive(Graph graph)
{
    printf("DFS_none_recursive\n");
    //将遇到的每一个未访问过的结点放入栈中 依次弹出访问 直到栈空
    int is_scan[VERTEX_MAX];
    memset(is_scan, 0, sizeof(is_scan));
    std::stack<int> s;
    s.push(0);
    while (!s.empty())
    {
        int seq = s.top();
        s.pop();
        if (!is_scan[seq])
        {
            is_scan[seq] = 1;
            printf("%d ", graph->vertex[seq]->key);
        }
        //将临界表内元素全部push
        Enode p = graph->vertex[seq]->first_edge;
        while (p)
        {
            if (!is_scan[p->seq])
                s.push(p->seq);
            p = p->next;
        }
    }
    printf("\n");
}

//广度优先搜索 递归
void BFS(Graph graph)
{
    printf("BFS\n");
    int is_scan[VERTEX_MAX];
    memset(is_scan, 0, sizeof(is_scan));
    std::deque<int> q;
    q.push_back(0);
    while (!q.empty())
    {
        int seq = q.front();
        q.pop_front();
        if (!is_scan[seq])
            printf("%d ", graph->vertex[seq]->key);
        is_scan[seq] = 1;
        Enode p = graph->vertex[seq]->first_edge;
        while (p)
        {
            if (!is_scan[p->seq])
                q.push_back(p->seq);
            p = p->next;
        }
    }
    printf("\n");
}

接口使用

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#include "graph.cpp"

int main()
{
    Graph graph = init(20);
    DFS(graph);
    DFS_none_recursive(graph);
    BFS(graph);
    return 0;
}

图的相关算法

拓扑排序

AOV网

若使用DAG图（有向无环图）表示一个工程（施工的先后顺序，项目依赖），顶点表示活动，使用有向边<a,b>表示活动a先于活动b。这种网称为AOV网，其中a是b的后继，b是a的前驱。

拓扑排序

在图论中，由一个DAG图的顶点组成的序列，当满足如下条件的时候，称为该图的一个拓扑排序。

  1. 每一个顶点只出现一次。
  2. 若在序列中A在B的前面，则图中不存在从B到A的路径。

拓扑排序的步骤

1.在AOV网中选择一个没有前驱的结点，输出并删掉相关的边。
2.重复直到网空或者不存在没有前驱的结点。

逆拓扑排序

顾名思义即将拓扑排序逆着来。

选择一个只有前驱没有后继的结点，输出并删除其入度的边，重复直到完成。

最小生成树

  • 一个连通图的生成树包含图中的所有顶点，并且只包含尽可能少的边。对于生成树来说，若砍去一条边则生成树不连通，若加上一条边则会形成回路。
  • 对于一个带权的图来讲，最小生成树即为所有生成树中路径权值的和最小的那一颗。
  1. 最小生成树不唯一
  2. 最小生成树的权值和唯一

prim算法

树中顶点集合TD，图中顶点集合GD，图中边的集合GE，树中边的集合TE。

初始树的集合为空，从图中任取一个顶点加入树的顶点集。从该顶点集所连的所有边中选择满足以下条件的边。

  1. 该边未被加入树中
  2. 将该边加入树不会造成回路。
  3. 该边的权值为所有可选边中最小的

将该边及其对应的顶点加入树中，重复直至所有顶点都已经加入到了树中。

kruskal算法

树中顶点集合TD，图中顶点集合GD，图中边的集合GE，树中边的集合TE。

prim算法是选择顶点，kruskal算法是选择边。

依次将权值最小的边及其两端顶点加入树中。该边也要满足以下条件

  1. 该边未被加入树中
  2. 将该边加入树不会造成回路。
  3. 该边的权值为所有可选边中最小的

最短路径

最短路径是两个点之间所经权值最下的一条路径。当图中所有路径的权值一样的时候可以使用广度优先搜索。当带权图的权值不一样的时候使用以下两种算法。

最短路径算法依赖于这条性质：

两点之间的最短路径包含了路径上其他顶点的最短路径。

dijkstra 算法

单源点最短路径

迪杰斯特拉算法思想

每一个顶点都知道自己到源点的最短路径，不直接和源点相连的顶点距离设为无穷远，直接相连的设为弧的权值。每一次选择一个新的结点，该结点要满足是所有可选择的新结点中距源点最近的一条。求出其路径长度。现在相当于多了一个知道自己最短路径长度的顶点，其他顶点根据自己的信息改变自己的最短长度。

算法说明

假设要求结点距离结点0的最短路径。源结点为结点0。顶点集合为v

  1. 设置一个数组dist存储每一个结点到源结点的最短路径值。
    1. 源节点到自身的路径长度设为0。
    2. 若不相连则设为正无穷。
  2. 设置一个path数组存储每一个结点到源节点的最短路径上的前驱。
  3. 设置一个集合s存储当前已经确定的最短路径的结点，初始元素为源节点本身。v=v-s，为方便计算路径，初始v不用减去源点。
  4. 从集合v中选取一个结点j加入s（第一次选取的结点肯定为源点本身），要求满足：
    1. dist[j]=min{dist[i]},其中i为v中所有顶点。
  5. v=v-s
  6. 对于v中的顶点以j为依据更新最短路径长度。
    1. dist[i] = dist[i] < dist[j] + arcs[i][j]?dist[i]:dist[j] + arcs[i][j];
    2. 即能不能根据j寻一条更短的道儿。
    3. 将path[i]=j, 即顶点i的最短路径的前驱经过j.
  7. 重复直到v空。

floyd 算法

顶点对最短路径

弗洛伊德算法思想

弗洛伊德算法要求出每对顶点的最短距离，依次选取每一个顶点作为中转结点，以此来更新dist[][]

算法说明

  1. 设置一个方阵存储每一对顶点的最短距离dist[][]，初始化为：
    1. 若两个顶点之间有弧则为弧长
    2. 没有弧为正无穷。
    3. 自己到自己的距离为0.
  2. 依次选取每一个顶点k作为中转结点
    1. 遍历所有顶点对更新最短距离。设当前顶点对为 <i,j>
      1. dist[i][j]= dist[i][j] < dist[i][k] + dist[k][j] ? dist[i][j] : dist[i][k] + dist[k][j];

关键路径

AOE网

在带权有向图中，以顶点代表事件，以有向边代表活动，以边上的权值代表活动的开销。称之为右边表示活动的网络，简称AOE网。

  1. 只有在入度弧代表的活动全部完成之后才可以顶点代表的时间。
  2. 只有顶点代表的事件发生之后才可以开始出度弧代表的活动。

事件的最早发生时间ve(k)
从源点到顶点k的最长路径长度。

ve(源点)=0

ve(k)=max(ve(i)+weight(i,k)); i为k的前驱

事件的最迟发生时间vl(k)

vl(汇点)=ve(汇点)

vl(k)=min(vl(j) - weight(k,j)); k为j的前驱

活动ai最早发生时间e(i)

e(i)=ve(k) (边<k,j>代表活动ai)

活动ai最迟发生时间l(i)

l(i)=vl(j)-weight(k,j) (边<k,j>代表活动ai)

活动ai可拖延时间d(i)
d(i)=l(i)=d(i)

文章作者: 崔文耀
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